ಪ್ರಾಧಾನ್ಯ

ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ವರ್ಣಿಸಲೋಸುಗ ಅರ್ಥಾತ್, ಚಲಿಸಿದ ದೂರ, ವೇಗ, ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಇವೇ ಮೊದಲಾದವನ್ನು ಗಣಿಸುವುದು (ಕ್ಯಾಲ್‌ಕ್ಯುಲೇಟ್) ಹೇಗೆ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೈಸೂರಿನಿಂದ ಸುಮಾರು ೧೪೦ ಕಿಮೀ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬೆಂಗಳೂರಿಗೆ ನಿಲುಗಡೆ ರಹಿತ ಬಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಪಯಣಿಸಲು ೪ ಗಂಟೆ ಕಾಲ ಬೇಕಾಯಿತು ಎಂದಾದರೆ, ಬಸ್ಸಿನ ಸರಾಸರಿ ಜವ (ಸ್ಪೀಡ್) ಗಂಟೆಗೆ ೩೫ ಕಿಮೀ ಎಂದು ಗಣಿತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನ ಇರುವವರೂ ಹೇಳಬಹುದಲ್ಲವೇ? ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದದ್ದು ಅವರಿಗೆ ಅರಿವಿಲ್ಲದೆಯೇ ‘ಸರಾಸರಿ ಜವ = ಚಲಿಸಿದ ದೂರ/ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ’ ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ್ದರಿಂದ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತುಸು ಬದಲಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು: ‘ಚಲಿಸಿದ ದೂರ = ಸರಾಸರಿ ಜವ x ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ’, ‘ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ = ಚಲಿಸಿದ ದೂರ/ಸರಾಸರಿ ಜವ’.  ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ, ಚಲಿಸಿದ ದೂರ, ಸರಾಸರಿ ಜವ ( ಆವರೇಜ್ ಸ್ಪೀಡ್) ಈ ಮೂರು ಪರಿಮಾಣಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ ಉಳಿದ ಒಂದನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೆರವು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಭಿಜಾತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ವರ್ಣಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ (ಇನಿಷಿಯಲ್ ವೆಲಾಸಿಟಿ), ಅಂತಿಮ ವೇಗ (ಫೈನಲ್ ವೆಲಾಸಿಟಿ), ಚಲಿಸಿದ ದೂರ (ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಟ್ರಾವಲ್ಡ್) ಅಥವ ಸ್ಥಾನಾಂತರಣ (ಡಿಸ್ಪಲೇಸ್‌ಮೆಂಟ್), ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ (ಆಕ್ಸಿಲರೇಷನ್), ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಮೂರು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಉಳಿದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ನೆರವು ನೀಡುತ್ತವೆ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಏಕರೀತಿಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯ  ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಏಕರೀತಿಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯ (ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್‌ಲೀ ಆಕ್ಸಿಲರೇಟೆಡ್ ಲೀನಿಯರ್ ಮೋಷನ್) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದೆ. ‘suvat’ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಭಿಜಾತ ಪಾಠಾಂತರ ಇಂತಿದೆ:

೧. v = u + at

೨. s = ½ (u + v)t

೩. s = ut + ½ at²

೪. s = vt - ½ at²

೫. v² = u² + 2as

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆಂಗ್ಲ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು ಅಭ್ಯಸಿಸುವುದು ಗೊಂದಲ ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನೇರ ರೇಖೀಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ದಿಕ್ಕು ಬದಲಾಗದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ವೇಗ ಮತ್ತು ಜವ  ಸಮನಾಗಿರುವಿದಲ್ಲದೇ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಾಂತರಣಗಳೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿ ಇರಲಿ.ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿರುವ ಆಂಗ್ಲ ಪ್ರತೀಕಗಳ (ಸಿಂಬಲ್ಸ್) ವಿವರಣೆ ಇಂತಿದೆ:

u: ವಸ್ತುವಿನ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ. v: ವಸ್ತುವಿನ ಅಂತಿಮ ವೇಗ. (ವಸ್ತು ವಿಶ್ರಾಂತ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಚಲಿಸಲಾರಂಭಿಸಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ = ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಚಲಿಸುತ್ತಿದ್ದ ವಸ್ತು ವಿಶ್ರಾಂತ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಬಂದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತಿಮ ವೇಗ = ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ) s: ವಸ್ತು ಚಲಿಸಿದ ದೂರ, ಅಥವ ಸ್ತಾನಾಂತರಣ. t: ವಸ್ತು ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ಸಮಯ. a: ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ‘suvat’ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಏಕೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೀವೇ ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ (ಡಿರೈವೇಷನ್)

ಏಕರೀತಿಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ a ಮೀ/ಸೆ ನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೀಯ (ರೆಕ್ಟಿಲೀನಿಯರ್) ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗ ‘ಅ’ ಎಂಬಲ್ಲಿ u ಮೀ/ಸೆ, ‘ಆ’ ಎಂಬಲ್ಲಿ v ಮೀ/ಸೆ ಇತ್ತು ಎಂದೂ t ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ಕಾಲಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ‘ಅ’ ಮತ್ತು ‘ಆ’ ನಡುವಿನ s ಮೀ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿತೆಂದೂ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅರ್ಥಾತ್, ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ = u ಮೀ/ಸೆ, ಅಂತಿಮ ವೇಗ = v ಮೀ/ಸೆ, ಏಕರೀತಿಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ = a ಮೀ/ಸೆ², ಚಲಿಸಿದ ದೂರ = s ಮೀ, ಈ ದೂರ ಕ್ರಮಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಮಯ = t ಸೆ.

ವಸ್ತುವಿನ ಆರಂಭಿಕ ವೇಗ = u
ಏಕರೀತಿಯ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ, ಅರ್ಥಾತ್ ೧ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಹೆಚ್ಚಳ = a
ಅಂದ ಮೇಲೆ, t ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಹೆಚ್ಚಳ = at
ಅದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಿಮ ವೇಗ = ಆರಂಭೀಕ ವೇಗ + ವೇಗದಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಹೆಚ್ಚಳ
v = u + at  (ಸಮೀಕರಣ ೧)
‘ಅ’ ಮತ್ತು ‘ಆ’ ಗಳ ನಡುವೆ ವಸ್ತುವಿನ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ = ½ (u + v)
ಅಂದ ಮೇಲೆ t ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಚಲಿಸಿದ ದೂರ s = ಸರಾಸರಿ ವೇಗ x ಸಮಯ
s = ½ (u + v)t  (ಸಮೀಕರಣ ೨)
ಸಮೀಕರಣ ೨ ರಲ್ಲಿ v ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ ೧ ರಲ್ಲಿ ಇರುವ u + at ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ
s = ½ (u + u + at)t  = ½ (2u + at)t = ½ (2ut + at)
s =  ut + ½at²     (ಸಮೀಕರಣ ೩)

ಸಮೀಕರಣ ೨ ರಲ್ಲಿ u ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ ೧ ರಿಂದ ಲಭಿಸುವ v - at ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ

s = ½ (v - at + v)t = ½ (vt – at² + vt) = ½ (2vt – at²)

s =  (vt – ½at²)   (s ಸಮೀಕರಣ ೪)

ಸಮೀಕರಣ ೨ ರಲ್ಲಿ t ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ ಸಮೀಕರಣ ೧ ರಿಂದ ಲಭಿಸುವ (v – u)/a ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ

s = ½ (u + v)[(v – u)/a] = ½(v² – u²)/a

s = ½(v² – u²)/a ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ

2as = v² – u² ಅಥವ v² = u² + 2as (ಸಮೀಕರಣ ೫)

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ವೃತ್ತೀಯ ಚಲನೆಯ (ಸರ್ಕ್ಯುಲರ್ ಮೋಷನ್) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅಥವ ಭೂಮಿಯಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ವಸ್ತುಗಳ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನೂ ಪ್ರಕ್ಷೇಪ್ಯ ಚಲನೆಯ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟೈಲ್ ಮೋಷನ್) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನೂ ಕಲಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.